Question

2．已知函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1
（1）求最小正周期；
（2）求最值及相应x的集合；
（3）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数的最值及相应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和周期公式可得；
（2）当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，函数取最大值3，易得此时相应x的集合，同理可得最小值和相应的x集合；
（3）由x的范围可得2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，可得当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{12}$时，函数取最大值3，当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$即x=$\frac{π}{2}$时，函数取最小值1-$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）由题意和周期公式可得函数的最小正周T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$时，函数取最大值3，此时相应x的集合为{x|x=kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z}；
当2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$时，函数取最小值-1，此时相应x的集合为{x|x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z}；
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{12}$时，函数取最大值3，
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$即x=$\frac{π}{2}$时，函数取最小值1-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正弦函数的图象，涉及周期性和最值，属中档题．