Question

11．在直角三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若BC⊥AC，∠BAC=$\frac{π}{3}$，AC=4，AA₁=4，M为AA₁中点，点P为BM中点，Q在线段CA₁上，且A₁Q=3QC，则PQ的长度为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PQ的长度．

解答 解：以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则由题意得A（0，4，0），C（0，0，0），
B（4$\sqrt{3}$，0，0），M（0，4，2），A₁（0，4，4），
P（2$\sqrt{3}$，2，1），$\overrightarrow{CQ}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=$\frac{1}{4}$（0，4，4）=（0，1，1），
∴Q（0，1，1），
∴PQ的长度为|PQ|=$\sqrt{（2\sqrt{3}-0）^{2}+（2-1）^{2}+（1-1）^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查空间中两点间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．