题目内容

【题目】如图,四棱锥SABCD中,SDCDSC2AB2BC,平面ABCD⊥底面SDCABCD,∠ABC90°,ESD中点.

1)证明:直线AE//平面SBC

2)点F为线段AS的中点,求二面角FCDS的大小.

【答案】1)详见解析;(230°.

【解析】

1)取SC中点G,连接BGEG,推导出四边形AEGB为平行四边形,从而AEBG,进而AE∥平面SBC

2)取CD中点O,连接OSOA ,推导出四边形ABCD为矩形,AOCOAOCD,以O为原点,OS所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角FCDS的大小.

1)证:如图,取SC中点G,连接BGEG

EG为△SDC的中位线,∴EGCD,且EG

ABCD,且AB,∴EGCD,且EGAB

∴四边形AEGB为平行四边形,∴AEBG

BG平面SBCAE平面SBC

AE∥平面SBC

2)解:设AB1,则BC1CD2,取CD中点O,连接OSOA

CO

ABCD,∠ABC90°,

∴四边形ABCO为矩形,∴AOCOAOCD

平面ABCD∩平面SDCCD,∴AO⊥平面SDCAOSO

∵△SDC为正三角形,∴SOCD

O为原点,OS所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

A001),S00),C010),D0,﹣10),F0),

1),,﹣1),

设平面FCD的一个法向量abc),

,取x1,得10),

由题意取平面SDC的一个法向量001),

设二面角FCDS的大小为θ

由图可知,为锐角,∴θ30°,

∴二面角FCDS的大小为30°.

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