Question

【题目】已知函数.

（1）若函数为偶函数，求实数的值；

（2）若，求函数的单调递减区间；

（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和；（3）.

【解析】

（1）根据偶函数的定义，结合题意，得到，进而可求出结果；

（2）先由题意得到，根据二次函数的性质，即可得出单调减区间；

（3）先由题意得到在上恒成立，令，根据二次函数单调性，得出函数的最小值，只需即可求出结果.

（1）因为函数为偶函数，

所以，即，即，因此；

（2）因为，所以，

因为函数的对称轴为，开口向上；

所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；

又函数的对称轴为，开口向上；

所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；

因此，函数的单调递减区间为：和；

（3）由题意，不等式可化为，

即在上恒成立，

令，则只需即可；

因为，所以，

因此，

当时，函数开口向上，对称轴为：，

所以函数在上单调递减；

当时，函数开口向上，对称轴为；

所以函数在上单调递增；

因此，

由得，解得或，

因为，所以.

即实数的取值范围为.