题目内容
【题目】设数列的通项公式是
(
表示不超过实数
的最大整数).
(1)证明:、
、
、
、
都是数列
的项;
(2)是否是数列
的项,证明你的结论;
(3)证明:有无穷多个2的正整数幂是数列的项.
【答案】(1)或
;(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)因为,
,
,
,
,
所以,、
、
、
、
都是数列
的项.
(2)因为,所以,数列
是不减的.而
,
,故
不是数列
的项.
(3)首先证明:存在无穷多个正整数,使得
,其中,
表示
的小数部分.事实上,若只有有限个正整数
,使得
,其中,
表示
的小数部分.事实上,若只有有限个正整数
,使得
,不妨设
是使得
成立的最大正整数.
故(
),即
.而
是一个正的常数,故对于足够大的正整数
,有
,矛盾.
对于每一个满足的正整数
,令
.则
.
故.从而,
.
这就证明了有无穷多个2的正整数幂是数列的项.
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