题目内容
【题目】设数列
的通项公式是
（
表示不超过实数
的最大整数）.
（1）证明：
、
、
、
、
都是数列的项；
（2）
是否是数列的项，证明你的结论；
（3）证明：有无穷多个2的正整数幂是数列的项.
【答案】（1）
或
；（2）见解析（3）见解析
【解析】
(1)因为
，
，
，
，
，
所以，
、
、
、
、
都是数列
的项.
(2)因为
，所以，数列是不减的.而
，
，故
不是数列的项.
(3)首先证明：存在无穷多个正整数
，使得
，其中，
表示
的小数部分.事实上，若只有有限个正整数，使得，其中，表示的小数部分.事实上，若只有有限个正整数，使得，不妨设
是使得成立的最大正整数.
故
（
），即
.而
是一个正的常数，故对于足够大的正整数
，有
，矛盾.
对于每一个满足的正整数，令
.则
.
故
.从而，
.
这就证明了有无穷多个2的正整数幂是数列的项.
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