Question

15．各棱长都为2的四棱锥，底面ABCD是正方形，将侧面PBC水平放置，则这个几何体的俯视图的面积为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 根据已知画出侧面PBC水平放置时，几何体的俯视图，并求出相应的边长，代入矩形和三角形面积公式后可得答案．

解答 解：作棱锥的轴截面（其中E，F为底面对边AD和BC的中点，O为底面中心），如下图所示：

∵则四棱锥的棱长为2，
∴EF=2，PE=PF=$\sqrt{3}$，PO=$\sqrt{2}$，
作EG⊥PF，垂足为G，则EG=$\frac{PO•EF}{PF}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，PG=$\sqrt{{PE}^{2}{-EG}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
将侧面PBC水平放置后，棱锥的俯视图如图所示，
则△PBC是等边三角形，PE=$\sqrt{3}$，

∴FG=PF-PG=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴俯视图面积=2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是简单几何体的三视图，其中画出满足条件的图形是解答的关键．