Question

20．甲船在湖中B岛的正南A处，AB=3km，甲船以8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发，以12km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是（　　）

• A． $\sqrt{7}\;km$
• B． $\sqrt{13}\;km$
• C． $\sqrt{19}\;km$
• D． $\sqrt{10-3\sqrt{3}}\;km$

Answer 1

分析 分别计算出AD，BC．在△ABC中，由余弦定理可得AC；在△ACD中，由余弦定理即可得出DC．

解答 解：如图所示．15min=$\frac{1}{4}$h．
设甲、乙两船行驶$\frac{1}{4}$h分别到D、C点．
∴AD=$\frac{1}{4}$×8=2km．BC=$\frac{1}{4}$×12=3km．
∵∠EBC=60°，∴∠ABC=120°．
∵AB=BC=3，
∴∠A=∠ACB=30°．
在△ABC中，由余弦定理可得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos∠ABC=3²+3²-2×3×3cos120°=27，
∴AC=3$\sqrt{3}$．
在△ACD中，由余弦定理可得：DC²=AD²+AC²-2AD•ACcos∠DAC
=4+27-2×$2×3\sqrt{3}$cos30°=13．
∴DC=$\sqrt{13}$．
故选：B．

点评 本题考查了利用余弦定理解三角形、行程问题，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．