题目内容
【题目】已知某正三棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的余弦值为
，球
为该三棱锥的内切球.球
与球相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
先利用侧面与底面所成二面角的余弦值为
可得三个侧面的等腰三角形底边上的高，再根据等体积法可求得球
的半径，进而根据立体几何中的相似，可得
所切的三棱锥的相似比，进而得到的半径比以及表面积的比.
如图，正三棱锥
，设
在底面
上的投影为
，取
中点
，易得
，
，
即为侧面与底面所成二面角.
又
，故
，
.
设球的半径为
，则
，即
，解得
.
根据题意可知，
为与正三棱锥相似的正三棱锥的内切球，且该三棱锥的高
.故两正三棱锥的相似比为
，故其内切球的的半径比也为
，故球与球的表面积之比为
.
故选：D
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