题目内容
【题目】如图,在中,
,
,
分别是
的中点.将
沿
折成大小是
的二面角
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)根据题意,由二面角为
得出
,通过运用线面垂直的判定得出
平面
,根据边长关系和勾股定理的逆定理得出
,根据等腰三角形的性质得出
,最后利用面面垂直的判定定理,即可证出平面
平面
;
(Ⅱ)根据条件得出四边形为矩形,得出
,从而将求
与平面
所成的角转化成求
与平面
所成的角,由线面垂直求出
到平面
距离,最后利用几何法即可求出结果.
解:(Ⅰ)由题可知,中,
,
,
不妨设,
已知将沿
折成大小是
的二面角
,
而,
,
则可得: ,
平面
,
所以在中,
,
,
则为等边三角形,得
,
由于分别是
的中点,则
,
所以平面
,
平面
,
于是,所以
,
取的中点
,连
,
则,
,
取的中点
,连接
,则
,
则,
,
易得:,
在中,
,
则,所以
,即
,
在中,
,则
,
又,所以
平面
,
而平面
,
所以平面平面
.
(Ⅱ)由于为
的中点,则
,
又且
,
可得:四边形为矩形,
所以与平面
所成的角就是
与平面
所成的角,设为
,
由于平面
,
为
的中点,
所以到平面
距离是:
,
而,
可得与平面
所成角的正弦值为:
,
所以与平面
所成角的正弦值
.
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