题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若f(x)有两个极值点,
,证明:
.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)求得函数的导数,
,按
、
、
三种情况分类讨论,得出函数的单调性,进而得出函数的极值;
(2)由(1)知,当时,
极值点
,
是方程
的两根,化简得
,设
,
,利用导数求得函数
的单调性与最值,即可求解.
(1)由题意,函数,
得,
,
(i)若时;
,
当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增,
所以当,函数
取得极小值,
是
的一个极小值点;
(ii)若时,则
,即
时,此时
,
在
是减函数,
无极值点,
当时,则
,令
,解得
,
,
当和
时,
,当
时,
,
∴在
取得极小值,在
取得极大值,所以
有两个极值点,
综上可知:(i)时,
仅有一个极值点;(ii).当
时,
无极值点;
(iii)当,
有两个极值点.
(2)由(1)知,当且仅当时,
有极小值点
和极大值点
,
且,
是方程
的两根,∴
,
,
则
,
设,
,则
,
∴时,
是减函数,
,
∴,
∴.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2017年4月1日,新华通讯社发布:国务院决定设立河北雄安新区.消息一出,河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.
(1)为了响应国家号召,北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查,8个学院的调查人数及统计数据如下:
调查人数( | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 |
愿意整体搬迁人数( | 8 | 17 | 25 | 31 | 39 | 47 | 55 | 66 |
请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量关于变量
的线性回归方程
保留小数点后两位有效数字);若该校共有教职员工2500人,请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数;
(2)若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区,现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察,记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数,求
的分布列及数学期望.
参考公式及数据: .