Question

4．已知下列四个命题：
①若函数y=f（x）在定义域上为减函数，则函数y=-f（x）在定义域上为增函数；
②若函数y=f（x）在定义域上为增函数，则函数g（x）=$\frac{1}{f（x）}$在其定义域内为减函数；
③若函数y=1+log_a（x-1）图象过定点P（m，n），则log_mn=0；
④若函数y=f（x）和y=g（x）在区间[-a，a]上都是奇函数，则函数y=f（x）•g（x）在区间[-a，a]上是偶函数，其中正确命题的序号是①④．

Answer 1

分析 ①由于函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于x轴对称即可得出；
②不一定正确，举反例如：f（x）=x；
③函数y=1+log_a（x-1）图象过定点P（m，n），可得a^n-1=m-1．则log_mn=0不一定成立，即可判断出正误；
④由于函数y=f（x）和y=g（x）在区间[-a，a]上都是奇函数，则函数f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）g（x），即可判断出奇偶性．

解答 解：①若函数y=f（x）在定义域上为减函数，则函数y=-f（x）在定义域上为增函数，正确；
②若函数y=f（x）在定义域上为增函数，则函数g（x）=$\frac{1}{f（x）}$在其定义域内为减函数，不一定正确，例如f（x）=x；
③若函数y=1+log_a（x-1）图象过定点P（m，n），则n=1+log_a（m-1），化为a^n-1=m-1．则log_mn=0不一定成立，因此不正确；
④若函数y=f（x）和y=g（x）在区间[-a，a]上都是奇函数，则函数f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）g（x）在区间[-a，a]上是偶函数，正确．
其中正确命题的序号是①④．
故答案为：①④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．