题目内容
【题目】集合由满足以下性质的函数
组成:①
在
上是增函数;②对于任意的
,
.已知函数
,
.
(1)试判断,
是否属于集合
,并说明理由;
(2)将(1)中你认为属于集合的函数记为
.
(ⅰ)试用列举法表示集合;
(ⅱ)若函数在区间
上的值域为
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)(i) ;(ii) 实数
的取值范围是
.
【解析】试题分析: (1)通过特例,判断不在集合
中,判断
的单调性,求出
的值域,即可判断
是否在集合
中;
(2)(ⅰ)利用 (1)在集合
中,解指数方程
,即可得到集合
.
试题解析:(1)因为,不满足②,所以
不属于集合
.
(ii)由(1)知, 在
上单调增,所以
所以方程在
内有两个不等的实根,解之即可得到实数
的取值范围.
在内任取两个数
,
,设
,
则,
因为是单调增函数,且
,所以
,
,
所以,即
,
故在
上是增函数,满足①;
所以在
上的值域为
,满足②.
故函数属于集合
.
(2)(i)由(1)知, ,所以
,
即,解得
或
,
所以或
,故
.
(ii)由(1)知, 在
上单调增,所以
所以方程在
内有两个不等的实根,
所以解得.
故实数的取值范围是
.
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