Question

【题目】已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上且在第一象限，圆C与x相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为2 ．
（1）求圆C的方程；
（2）若P（x，y）是圆C上的点，满足 x+y﹣m≤0恒成立，求m的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，

则圆心到直线y=x的距离 ，

而 =r2﹣d2，

∴9t2﹣2t2=7，

∴t=±1，

∴（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．

∴圆心在第一象限的圆是（x﹣3）2+（y﹣1）2=9

（2）解：由题知，m≥（ x+y）max．

设x=1+3cosθ，y=3+3sinθ，

则 x+y= （1+3cosθ）+（3+3sinθ）=6sin（θ+ ）+3+

∴6sin（θ+ ）=1时，（ x+y）max=9+

∴m≥9+

【解析】（1）本小题根据圆的半径，弦长的一般与圆心到弦的距离组成的直角三角形求得，进而求得t的 值，再结合圆心在第一象限求得圆的方程；（2）对于圆，可以转化为x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，这样可以根据三角函数的取值范围求得相关代数式的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了三角函数的最值的相关知识点，需要掌握函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．