Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|与|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{6}$，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ

Answer 1

分析 （1）利用向量模的计算公式、同角三角函数基本关系式、和差公式与倍角公式即可得出；
（2）由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{6}$，可得$sin（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得x，再利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=$（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=$（cos\frac{3x}{2}-cos\frac{x}{2}，sin\frac{3x}{2}+sin\frac{x}{2}）$．
由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x∈[0，π]．
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}$=2cosx，
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（cos\frac{3x}{2}-cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3x}{2}+sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2-2cos2x}$=2sinx．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{6}$，
∴2cosx+2sinx=$\sqrt{6}$，
∴$2\sqrt{2}$$sin（x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{6}$，
∴$sin（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得（x+$\frac{π}{4}$）∈$[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$．
∴$x+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
∴x=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{12}$．
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$cos\frac{3x}{2}cos\frac{x}{2}-sin\frac{3x}{2}sin\frac{x}{2}$=cos2x，
$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{3x}{2}+si{n}^{2}\frac{3x}{2}}$=1，
$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{co{s}^{2}\frac{x}{2}+（-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=1．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{cos2x}{1×1}$=$cos\frac{π}{3}$或$cos\frac{5π}{4}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{3π}{4}$．
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角θ为$\frac{π}{3}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了向量模的计算公式、同角三角函数基本关系式、和差公式与倍角公式、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了计算能力，属于中档题．