题目内容
已知函数
(x≥4)的反函数为
,数列
满足:a1=1,
,(
N*),数列
,
,
,…,
是首项为1,公比为
的等比数列.
(Ⅰ)求证:数列
为等差数列; (Ⅱ)若
,求数列
的前n项和
.










(Ⅰ)求证:数列




(Ⅰ)见解析; (Ⅱ)
.

(I)反解x,可得
(x≥0),
所以
,从而可得
(
N*),由等差数列的定义可知数列
是等差数列.
(II)由题意可知当n≥2时,
,然后采用叠加的办法求出
,从而确定
,然后采用错位相减的方法求和.
(Ⅰ)∵
(x≥4),
∴
(x≥0),
∴
,
即
(
N*).
∴数列
是以
为首项,公差为2的等差数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
,即
(
N*).
b1=1,当n≥2时,
,
∴


因而
,
N*.

,
∴


令
①
则
②
①-②,得


∴
.又
.
∴
.


所以





(II)由题意可知当n≥2时,




(Ⅰ)∵


∴


∴


即


∴数列


(Ⅱ)由(Ⅰ)得:



b1=1,当n≥2时,

∴



因而




∴



令


则


①-②,得



∴


∴


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