Question

已知函数(x≥4)的反函数为，数列满足：a₁=1，，（N*），数列，，，…，是首项为1，公比为的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列； （Ⅱ）若，求数列的前n项和．

Answer 1

（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）．

(I)反解x,可得(x≥0),
所以,从而可得（N*）,由等差数列的定义可知数列是等差数列.
(II)由题意可知当n≥2时，,然后采用叠加的办法求出,从而确定,然后采用错位相减的方法求和.
（Ⅰ）∵(x≥4)，
∴(x≥0)，
∴，
即（N*）．
∴数列是以为首项，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即
（N*）．
b₁=1，当n≥2时，，
∴

因而，N*．
，
∴

令              ①
则     ②
①-②，得
 
∴．又．
∴．