Question

14．已知⊙O：x²+y²=1．若直线y=$\sqrt{k}$x+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为1．

Answer 1

分析 设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，圆心O到直线y=$\sqrt{k}$x+2的距离小于或等于P0=$\sqrt{2}$，由此求得k的范围．

解答 解：∵圆心为O（0，0），半径R=1．
设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，
故有PO=$\sqrt{2}$R=$\sqrt{2}$，
∴圆心O到直线y=$\sqrt{k}$x+2的距离小于或等于P0=$\sqrt{2}$，
即$\frac{|2|}{\sqrt{1+k}}$≤$\sqrt{2}$，
即1+k≥2，解得k≥1，
∴实数k的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．