Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且经过点.

求椭圆的标准方程；

设为椭圆的中线，点，过点的动直线交椭圆于另一点，直线上的点满足，求直线与的交点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）利用椭圆C：的离心率为，且经过点M（2，0），可求椭圆的几何量，从而可求椭圆方程；

（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，求得B点坐标，结合求出C的坐标，写出BD、OC的直线方程，利用消参法求轨迹.

因为椭圆的离心率，且，所以.

又.故椭圆的标准方程为.

设直线的方程为（当存在时，由题意），代入，并整理得.

解得，于是，即.

设，则.

由已知得，得，解得，于是.

又，

由两点的坐标可得直线的方程为.

又由点坐标可得直线的方程为.

两式相乘，消去参数得.（如果只求出交点的坐标，此步不得分）

又当不存在时，四点重合，此时也满足题意.

故直线与的交点的轨迹方程.