Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n与S_n满足关系式S_n=3-$\frac{n+3}{n+1}$a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）猜想数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用S_n=3-$\frac{n+3}{n+1}$a_n（n∈N^*）．代入计算，可得结论；
（Ⅱ）猜想an=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，（n∈N^*）．然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=3-$\frac{n+3}{n+1}$a_n（n∈N^*）．
∴a₁=s₁=3-$\frac{1+3}{1+1}$a₁，解得a₁=$\frac{2}{2}$=1，
a₁+a₂=s₂=3-$\frac{2+3}{2+1}$a₂，解得a₂=$\frac{3}{4}$，
a₁+a₂+a₃=s₃=3-$\frac{3+3}{3+1}$a₃，解得a₃=$\frac{1}{2}$=$\frac{4}{8}$，
a₁+a₂+a₃+a₄=s₄=3-$\frac{4+3}{4+1}$a₄，解得a₄=$\frac{5}{16}$，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想an=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，（n∈N^*）．
证明：①当n=1时，a₁=1，等式成立；
②假设n=k时，结论成立，即a_k=$\frac{k+1}{{2}^{k}}$，（k≥2，k∈N^*）．
则n=k+1时，a_k+1=s_k+1-s_k=3-$\frac{k+4}{k+2}$k_k+1-3+$\frac{k+3}{k+1}$a_k，
∴（1+$\frac{k+4}{k+2}$）a_k+1=$\frac{k+3}{k+1}$•$\frac{k+1}{{2}^{k}}$，
∴$\frac{2（k+3）}{k+2}$a_k+1=$\frac{k+3}{{2}^{k}}$，
∴a_k+1=$\frac{k+1+1}{{2}^{k+1}}$，
所以当n=k+1等式成立
根据①②可知猜想成立．

点评 此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法