题目内容
11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4$\sqrt{2}$．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆C交手A、B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点D，求△ABD面积的最大值．
分析 （I）根据椭圆的定义方程，得出$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，2a$+2c=6+4\sqrt{2}$，求解即可得出方程．
（II）不妨设AB的方程为x=ky+m，与椭圆方程联立，根据以AB为直径的圆过点D，可得 $\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0，从而可求m的值，进而可表示三角形的面积，换元，即可求得ABC面积的最大值
解答 解：（I）∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4$\sqrt{2}$，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，2a$+2c=6+4\sqrt{2}$，
∴a=3，c=2$\sqrt{2}$，b=1，
即椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$$+\frac{{y}^{2}}{1}$=1，
（II）不妨设AB的方程为x=ky+m．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ky+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1+y2=-$\frac{2km}{{k}^{2}+9}$，y1y2=$\frac{{m}^{2}-9}{{k}^{2}+9}$①
因为以AB为直径的圆过点D，所以 $\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=0
由 $\overrightarrow{DA}$=（x1-3，y1），$\overrightarrow{DB}$=（x2-3，y2），得（x1-3）（x2-3）+y1y2=0．
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得（k2+1）y1y2+k（m-3）（y1+y2）+（m-3）2=0．
将①代入上式，解得m=$\frac{12}{5}$或m=3（舍）．
所以m=$\frac{12}{5}$（此时直线AB经过定点D（$\frac{12}{5}$，0），与椭圆有两个交点）．
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{2}$|AB||y1-y2|=$\frac{1}{2}×$ $\frac{3}{5}$$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{9}{5}$．
设t=$\frac{1}{{k}^{2}+9}$，0$＜t≤\frac{1}{9}$，则S△ABC=$\frac{9}{5}$．
所以当t=$\frac{25}{288}$时，S△ABC取得最大值$\frac{3}{8}$．
点评 本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆方程的联立，正确表示三角形的面积是关键
| A． | 一个棱柱中截去一个棱柱 | B． | 一个棱柱中截去一个圆柱 | ||
| C． | 一个棱柱中截去一个棱锥 | D． | 一个棱柱中截去一个棱台 |
为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，从全市志愿者中随机抽取了80名志愿者，对其年龄进行统计后得到频率分布直方图如下，但是年龄组在[25，30）的数据不慎丢失．