设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S7=7.S15=75.(1)求数列{an}的通项公式,(2)设bn=$\frac{S n}{n}$.求证数列{bn}是等差数列.并求其前n项和Tn．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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题目内容

16．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₇=7，S₁₅=75，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

$\frac{S_n}{n}$ ，求证数列{b_n}是等差数列，并求其前n项和T_n．

分析（1）利用等差数列的前n项和公式即可得出；
（2）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答（1）解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵S₇=7，S₁₅=75，
∴ $\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+21d=7}\\{15{a}_{1}+105d=75}\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=-2}\\{d=1}\end{array}\right.$ ，
∴a_n=-2+（n-1）=n-3．
（2）证明：由（1）可得：S_n= $\frac{n（-2+n-3）}{2}$ = $\frac{n（n-5）}{2}$ ，
∴b_n= $\frac{S_n}{n}$ = $\frac{n-5}{2}$ ，
∴当n≥2时，b_n-b_n-1= $\frac{n-5}{2}$ - $\frac{n-6}{2}$ = $\frac{1}{2}$ ．
∴数列{b_n}是等差数列，首项为-2，公差为 $\frac{1}{2}$ ．
∴其前n项和T_n= $\frac{n（-2+\frac{n-5}{2}）}{2}$ = $\frac{{n}^{2}-9n}{4}$ ．

点评本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

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