题目内容
【题目】设椭圆C: =1(α>b>0)经过点(
,
),且原点、焦点,短轴的端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线(切线斜率存在)与椭圆C恒有两个交点A,B.且 ?若存在,求出该圆的方程,若不存在说明理由.
【答案】
(1)解:∵原点、焦点,短轴的端点构成等腰直角三角形,∴b=c,
∵椭圆C: =1(α>b>0)经过点(
,
),∴
=1,
联立 ,解得b=c=2,a2=8.
∴椭圆E的方程为 =1
(2)解:假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线(切线斜率存在)与椭圆C恒有两个交点A,B.且 .
设圆的方程为:x2+y2=r2,(0<r<2).
设圆的切线为y=kx+m,则 =r,A(x1,y1),B(x2,y2).
联立 ,化为:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,
△≥0,可得:9k2+4≥m2.
x1+x2= ,x1x2=
.
∵ ,∴
=x1x2+y1y2=0.
∴(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=0,
∴ ﹣
+m2=0,
化为:3m2=8+8k2,与 =r联立,
可得r2= =
=
<4,
因此假设成立,存在圆心在原点的圆,方程为x2+y2= ,使得该圆的任意一条切线(切线斜率存在)与椭圆C恒有两个交点A,B,且
【解析】(1)由原点、焦点,短轴的端点构成等腰直角三角形,可得b=c.由椭圆C: =1(α>b>0)经过点(
,
),可得
=1,与a2=b2+c2联立即可得出.(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线(切线斜率存在)与椭圆C恒有两个交点A,B.且
.设圆的方程为:x2+y2=r2 , (0<r<2).设圆的切线为y=kx+m,可得
=r,A(x1 , y1),B(x2 , y2).与椭圆方程联立化为:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0,利用根与系数的关系及其
,可得
=x1x2+y1y2=0.化简整理即可得出.
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