题目内容

12.已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)它的离心率为$\frac{1}{2}$,一个焦点是(-1,0),过直线x=4上一点引椭圆E的两条切线,切点分别是A、B.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若在椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的切线方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1.求证:直线AB恒过定点,并求出定点的坐标;
(Ⅲ)记点C为(Ⅱ)中直线AB恒过的定点,问否存在实数λ,使得|$\overrightarrow{AC}$+|$\overrightarrow{BC}$|=λ|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{BC}$|成立,若成立求出λ的值,若不存在,请说明理由.

分析 (Ⅰ)椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)它的离心率为$\frac{1}{2}$,一个焦点是(-1,0),计算a,b,即得结论;
(Ⅱ)通过分别将点M的坐标(4,t)代入切线方程,利用两点确定唯一的一条直线,即得结论;
(III)通过将直线AB的方程代入椭圆方程,利用韦达定理计算$\frac{1}{|AC|}$+$\frac{1}{|BC|}$即可.

解答 (I)解:椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的焦点是(-1,0),故c=1,
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,所以a=2,b=$\sqrt{3}$,
所以所求的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.…(4分)
(II)证明:设切点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l上一点M的坐标(4,t),
则切线方程分别为$\frac{{x}_{1}x}{4}+\frac{{y}_{1}y}{3}=1$,$\frac{{x}_{2}x}{4}+\frac{{y}_{2}y}{3}=1$,
又两切线均过点M,可得点A,B的坐标都适合方程x+$\frac{t}{3}y$=1,故直线AB的方程是x+$\frac{t}{3}y$=1,显然直线x+$\frac{t}{3}y$=1恒过点(1,0),故直线AB恒过定点C(1,0).…(9分)
(III)解:将直线AB的方程x+$\frac{t}{3}y$=1,代入椭圆方程,整理得($\frac{{t}^{2}}{3}$+4)y2-2ty-9=0,
所以韦达定理可得:y1+y2=$\frac{6t}{12+{t}^{2}}$,y1y2=-$\frac{27}{12+{t}^{2}}$,
不妨设y1>0,y2<0,
|AC|=$\sqrt{({x}_{1}-1)^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+9}}{3}$y1
同理|BC|=-$\frac{\sqrt{{t}^{2}+9}}{3}$y2,…(12分)
所以$\frac{1}{|AC|}$+$\frac{1}{|BC|}$=$\frac{3}{\sqrt{{t}^{2}+9}}$($\frac{1}{{y}_{1}}$-$\frac{1}{{y}_{2}}$)=$\frac{1}{\sqrt{{t}^{2}+9}}•\frac{\sqrt{144{t}^{2}+9×144}}{9}$=$\frac{4}{3}$,
即:|AC|+|BC|=$\frac{4}{3}$|AC|•|BC|,
所以λ=$\frac{4}{3}$…(14分)

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于难题.

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