题目内容
3．设x，y∈R，$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$为直角坐标平面内x，y轴正方向上的单位向量，若向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=2x$\overrightarrow{i}$+2y$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=4$\overrightarrow{j}$，|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=8．（1）求动点M（x，y）的轨迹c的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线c交于A，B两点，设$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OB}$，是否存在这样的直线l，使四边形OAPB是矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据向量的表达式和|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=8的值可推断出点M（x，y）到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离之和为8．根据椭圆的定义判断出其轨迹为椭圆，进而根据c和a，求得b，则椭圆方程可得；
（2）先看当直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．根据$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，可推断出P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．不可知直线的斜率一定存在，设出直线方程，和A，B的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，根据$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$和矩形的性质判断出OA⊥OB，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，求得x1x2+y1y2=0，进而求得k．
解答 （1）解：∵向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=2x$\overrightarrow{i}$+2y$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=4$\overrightarrow{j}$，可得$\overrightarrow{a}$=（x，y+2），$\overrightarrow{b}$=（x，y-2），
由|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=8，可得$\sqrt{{x}^{2}+（y+2）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=8，
∴点M（x，y）到两个定点F1（0，-2），F2（0，2）的距离之和为8．
c=2，a=4，则b=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆，方程为$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．
（2）∵l过y轴上的点（0，3），
若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OB}$，即有$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{0}$，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线l的斜率存在．设l方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
由y=kx+3，$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1消y得（4+3k2）x2+18kx-21=0．
此时，△=（18k）2+84（4+3k2）＞0恒成立
且x1+x2=-$\frac{18k}{4+3{k}^{2}}$，x1x2=-$\frac{21}{4+3{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
∴四边形OAPB是平行四边形．
若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，
即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．
∵$\overrightarrow{OA}$=（x1，y1），$\overrightarrow{OB}$=（x2，y2），
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1x2+y1y2=0，
即（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9=0，
即（1+k2）•（-$\frac{21}{4+3{k}^{2}}$）+3k•（-$\frac{18k}{4+3{k}^{2}}$）+9=0，
即k2=$\frac{5}{16}$，得k=±$\frac{\sqrt{5}}{4}$．
∴存在直线l：y=±$\frac{\sqrt{5}}{4}$x+3，使得四边形OAPB是矩形．
点评 本题考查轨迹方程的求法，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了向量的坐标化等数学思想方法，
