题目内容
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，点（$\sqrt{{a}_{n}}$，Sn）在曲线y=2x2-2上．（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）记bn=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$，试求数列{bn}的前n项和Tn ．
分析 （1）运用数列的通项和求和的关系，结合等比数列的定义即可得证；
（2）求出bn，运用错位相减法即可求得数列{bn}的前n项和Tn ．
解答 （1）证明：由于点（$\sqrt{{a}_{n}}$，Sn）在曲线y=2x2-2上．
则Sn=2an-2，
n=1时，a1=S1=2a1-2，解得a1=2，
当n＞1时，Sn-1=2an-1-2，
可得Sn-Sn-1=2an-2an-1=an，
即为an=2an-1，
可得数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）解：bn=$\frac{2n-1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
则前n项和Tn =1$•\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）2+5•（$\frac{1}{2}$）3+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$Tn =1•（$\frac{1}{2}$）2+3•（$\frac{1}{2}$）3+5•（$\frac{1}{2}$）4+…+$\frac{1}{2}$•$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
两式相减可得，$\frac{1}{2}$Tn =$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）2+2•（$\frac{1}{2}$）3+2•（$\frac{1}{2}$）4+…+2•（$\frac{1}{2}$）n-$\frac{1}{2}$•$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
化简可得Tn=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
点评 本题考查数列的通项和求和的关系，同时考查等比数列的定义和通项及求和公式的运用，运用错位相减法求数列的和的方法，考查运算能力，属于中档题．
