题目内容
设
是抛物线
上相异两点,
到y轴的距离的积为
且
.

(1)求该抛物线的标准方程.
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与
轴交点为T,且Q为线段RT的中点,试求弦PR长度的最小值.







(1)求该抛物线的标准方程.
(2)过Q的直线与抛物线的另一交点为R,与

(1)
.(2)直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值
.


试题分析:(1)确定抛物线的标准方程,关键是确定



再根据P、Q在抛物线上,得到


(2)设直线PQ过点



消去x得y2 2my 2a=0,利用韦达定理,建立



试题解析: (1)∵ ·=0,则x1x2+y1y2=0, 1分
又P、Q在抛物线上,故y12=2px1,y22=2px2,故得
+y1y2=0, y1y2= 4p2

又|x1x2|=4,故得4p2=4,p=1.
所以抛物线的方程为:

(2)设直线PQ过点E(a,0)且方程为x=my+a
联立方程组

消去x得y2 2my 2a=0
∴

设直线PR与x轴交于点M(b,0),则可设直线PR方程为x=ny+b,并设R(x3,y3),
同理可知

由①、②可得

由题意,Q为线段RT的中点,∴ y3=2y2,∴b=2a
又由(Ⅰ)知, y1y2= 4,代入①,可得
2a= 4 ∴ a=2.故b=4. 11分
∴

∴


当n=0,即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值


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