题目内容

设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( )

A. 0               B.1                C.      D.

D


解析:

∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1

=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,

令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,

易知fn(x)在x=时取得最大值，

最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1

练习册系列答案
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设函数fn(x)=-1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
，(x∈R，n∈N*)
（1）证明对每一个n∈N*，存在唯一的xn∈[
1
2
，1]，满足fn（xn）=0；
（2）由（1）中的xn构成数列{xn}，判断数列{xn}的单调性并证明；
（3）对任意p∈N*，xn，xn+p满足（1），试比较|xn-xn+p|与
1
n
的大小．
设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数fn（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(
12
，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．
设函数fn(x)=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f2（x）在区间（
1
2
，  1）内不存在零点；
②函数f3（x）在区间（
1
2
，  1）内存在唯一零点；
③?n∈N*，且n≥4，函数fn（x）在区间(
1
2
，  1)内存在零点．
其中所有正确结论的序号为
②③
②③
．
（2013•盐城二模）设函数fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f3（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f3（x1）-f3（x2）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f4（x）|在[-1，1]上的最大值为
12
，求a，b的值．
设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数fn（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(
12
，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围．

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