Question

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)
（Ⅰ）当b＞0时，判断函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，验证f_n′（x）＞0，即可得到结论；
（Ⅱ）将n＞2，b=1，c=-1代入可得f_n（x）=xⁿ+x-1，结合指数函数的性质可得f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（

1

2

，1）上恒成立，进而判断出函数在区间上单调，分析区间两端点的函数值符号关系，进而根据零点存在定理，可得答案；
（Ⅲ）将n=2，根据|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，分类讨论不同情况下b的取值范围，综合讨论结果，可得b的取值范围．

解答：（Ⅰ）解：∵fn(x)=xn+bx+c，
∴fn′(x)=nxn-1+b
∵b＞0，x＞0，n∈N₊
∴f_n′（x）＞0
∴函数f_n（x）在（0，+∞）上的单调递增；
（Ⅱ）证明：由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在(

1

2

，1)上恒成立，
∴f_n（x）=xⁿ+x-1在(

1

2

，1)单调递增，
∵f_n（1）=1＞0，f_n（

1

2

）=(

1

2

)n-

1

2

＜0，
∴f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点；
（Ⅲ）解：当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c
①当b≥2或b≤-2时，即-

b

2

≤-1或-

b

2

≥1，此时只需满足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤4
∴-2≤b≤2，即b=±2；
②当0≤b＜2时，即-1＜-

b

2

≤0，此时只需满足f₂（1）-f₂（-

b

2

）≤4，即b²+4b-12≤0
解得：-6≤b≤2，即b∈[0，2）
③当-2＜b＜0时，即0＜-

b

2

＜1，此时只需满足f₂（-1）-f₂（-

b

2

）≤4，即b²-4b-12≤0
解得：-2≤b≤6，即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-2，2]．

点评：本题考查零点存在定理，导数法判断函数的单调性，待定系数法求范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．