Question

10．已知x，y∈R⁺，且x+2y=$\sqrt{3}$，则$\frac{xy+1}{{x}^{2}+4{y}^{2}}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{11}{12}$
• B． $\frac{11}{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 $\frac{xy+1}{{x}^{2}+4{y}^{2}}$=$\frac{xy+1}{（x+2y）^{2}-4xy}$=$\frac{xy+1}{3-4xy}$．利用基本不等式确定0＜xy≤$\frac{3}{8}$，再换元，利用单调性，即可得出结论．

解答 解：$\frac{xy+1}{{x}^{2}+4{y}^{2}}$=$\frac{xy+1}{（x+2y）^{2}-4xy}$=$\frac{xy+1}{3-4xy}$．
∵x，y∈R⁺，且x+2y=$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$=x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，
∴0＜xy≤$\frac{3}{8}$．
设t=3-4xy，xy=$\frac{1}{4}$（3-t），$\frac{3}{2}$≤t＜3，
∴f（t）=$\frac{7}{4t}$-$\frac{1}{4}$在$\frac{3}{2}$≤t＜3为减函数，
∴原式最大值为$\frac{11}{12}$．
∴f（t）_max=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{11}{12}$
∴原式最大值为$\frac{11}{12}$．

点评 本题考查求最大值，考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，正确转化是关键．