题目内容
14.关于函数f(x)=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$,下列叙述一定正确的序号为①是奇函数;②a>0时,f(x)有最大值$\frac{\sqrt{a}}{2a}$;③函数图象经过坐标原点(0,0)( )A. | ② | B. | ①② | C. | ①③ | D. | ①②③ |
分析 根据函数解析式分析器奇偶性和最值等,得到正确选项.
解答 解:由已知解析式得到函数定义域为R,
对于①,f(-x)=$\frac{-x}{(-x)^{2}+a}=-\frac{x}{{x}^{2}+a}$=-f(x);所以为奇函数;故①正确;
对于②,a>0时,f(x)=$\frac{1}{x+\frac{a}{x}}≤\frac{1}{2\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{2a}$,当且仅当x=$\frac{a}{x}$时等号成立;故②正确;
对于③,只有a≠0时,函数图象经过坐标原点(0,0),故③错误;
故选B.
点评 本题考查了函数奇偶性的判断、最值求法等;将解析式适当变形是关键.
练习册系列答案
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