题目内容
20．已知x1，x2是方程x2-（a-2）x+（a2+3a+5）=0（a为实数）的两个实根，求x12+x22的最大值．分析 根据一元二次方程有解的条件求出a的取值范围，再利用根与系数的关系求出${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$的最大值．
解答 解：∵x1，x2是方程x2-（a-2）x+（a2+3a+5）=0（a为实数）的两个实根，
∴x1+x2=a-2，
x1x2=a2+3a+5，
且△=（a-2）2-4（a2+3a+5）=-3a2-16a-16≥0，
即-4≤a≤-$\frac{4}{3}$；
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-2x1x2=（a-2）2-2（a2+3a+5）=-（a+5）2+19，
又∵-4≤a≤-$\frac{4}{3}$，
∴a=-4时，-（a+5）2+19=-1+19=18是最大值；
∴x12+x22的最大值为18．
点评 本题考查了一元二次方程的根与系数的应用问题，也考查了求函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．
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