题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 (a>b>0)的离心率为
,长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l,分别交椭圆和圆x2+y2=a2于相异两点P,Q.
(1)若直线l的斜率为,求
的值;
(2)若,求实数λ的取值范围.
【答案】(1) (2)0<λ<1.
【解析】试题分析:
首先求得椭圆方程为,圆的方程为
.
(1)法一:直线方程为,与椭圆方程联立可得
,则
,结合圆的性质可得
,则
.
法二:联立直线方程与椭圆方程可得: ,则
.
(2)由题意可得,设直线l:y=k(x+2),与椭圆方程联立可得
,据此可得:
,同理可得
,则
.
试题解析:
由题意得解得
所以椭圆的方程为+
=1,圆的方程为x2+y2=4.
(1)法一 直线l的方程为y= (x+2),
由得3x3+4x-4=0.
解得xA=-2,xP=,所以P
.
所以AP==
.
又因为原点O到直线l的距离d==
,
所以AQ=2=
,所以
=
=
.
法二 由得3y2-4y=0,所以yP=
.
由得5y2-8y=0,所以yQ=
.
所以=
=
×
=
.
(2)若=λ
,则λ=
-1,
设直线l:y=k(x+2),
由得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0,
即(x+2)[(2k2+1)x+(4k2-2)]=0,
所以xA=-2,xP=,得P
.
所以AP2==
,
即AP=.同理可得AQ=
.
所以λ=-1=1-
.
由题意知k2>0,所以0<λ<1.
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