Question

【题目】在直角坐标系中，直线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）已知点，直线与轴正半轴交于点，与曲线交于，两点，且，，成等比数列，求直线的极坐标方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式，结合极坐标与直角坐标转化公式进行求解即可；

（2）写出直线的参数方程，求出的表达式，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程中，利用参数的意义，结合等比数列的性质进行求解即可.

（1）方程可化为，

将代入上式，得曲线的直角坐标方程.

（2）由直线的方程为，知直线过点，

记直线的倾斜角为，，

设直线的参数方程为（为参数），

令，得点对应的参数值为，即，

把代入，得，

整理，得，

则有.

设，对应的参数值分别为，，

则，，

因为，，成等比数列，则，

所以，

所以或，

解得或，

的普通方程为或，

故的极坐标方程为或.