题目内容
【题目】已知函数,曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求,
的值;
(2)证明函数存在唯一的极大值点
,且
.
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】
(1)求导,可得(1)
,
(1)
,结合已知切线方程即可求得
,
的值;
(2)利用导数可得,
,再构造新函数
,利用导数求其最值即可得证.
(1)函数的定义域为,
,
则(1)
,
(1)
,
故曲线在点
,
(1)
处的切线方程为
,
又曲线在点
,
(1)
处的切线方程为
,
,
;
(2)证明:由(1)知,,则
,
令,则
,易知
在
单调递减,
又,
(1)
,
故存在,使得
,
且当时,
,
单调递增,当
,
时,
,
单调递减,
由于,
(1)
,
(2)
,
故存在,使得
,
且当时,
,
,
单调递增,当
,
时,
,
,
单调递减,
故函数存在唯一的极大值点,且
,即
,
则,
令,则
,
故在
上单调递增,
由于,故
(2)
,即
,
.
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