Question

6．若a＞0，b＞0，则$\frac{a+b}{2}$叫做a，b的算术平均数，$\sqrt{ab}$叫做a，b的几何平均数，且$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$（当且仅当a=b时等号成立）．
（1）若a＞0，b＞0，求证：a+$\frac{1}{a}$≥2；
（2）若x＞0，求2x+$\frac{1}{x}$的最小值；
（3）若0＜x＜1，求x（1-x）的最大值．

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的规则，逐个解决即可．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，
当且仅当a=$\frac{1}{a}$即a=1时取等号，故a+$\frac{1}{a}$≥2；
（2）∵x＞0，∴2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2}$，
当且仅当2x=$\frac{1}{x}$即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
故2x+$\frac{1}{x}$的最小值为2$\sqrt{2}$；
（3）∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1
∴x（1-x）≤$（\frac{x+1-x}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
当且仅当x=1-x即x=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴x（1-x）的最大值为$\frac{1}{4}$

点评 本题考查基本不等式求最值，注意等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．