Question

已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：a²+b²+c²＞（a-b+c）²．

Answer 1

分析：左边减去右边等于2（ab+bc-ac ），用等比数列的定义以及基本不等式可得 a+c＞b，进而推出2（ab+bc-ac ）＞0，
从而证得不等式成立．

解答：证明：∵a²+b²+c² -（a-b+c）²=2（ab+bc-ac ）．
∵a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，∴b² =ac≤(

a+c

2

)2，
开方可得

a+c

2

≥

b2

，故 a+c≥2b＞b．
∴2（ab+bc-ac ）=2（ab+bc-b² ）=2b（a+c-b）＞0，
∴a²+b²+c² -（a-b+c）²＞0，∴a²+b²+c²＞（a-b+c）² ．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，等比数列的定义和性质，用比较法证明不等式，属于中档题．