题目内容
【题目】在四棱锥中,
,
,
,
,
分别为
的中点,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)设,若平面
与平面
所成锐二面角
,求
的取值范围.
【答案】(1)详见解析; (2).
【解析】试题分析:(1) 求证:平面ABE⊥平面BEF, 只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可, 注意到AB∥CD,CD⊥AD,AD = 2AB,而分别为
的中点,可得四边形ABCD为矩形,说明AB⊥BF,再证明AB⊥EF,由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF,再根据面面垂直的判定得到平面ABE⊥平面BEF;(2)以A点为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系,利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值,根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围,最后求解不等式可得a的取值范围.
试题解析:(Ⅰ),
分别为
的中点,
为矩形,
2分
∵DE=EC,∴DC⊥EF,又AB∥CD,∴AB⊥EF
∵BF∩EF=F,∴AB⊥面BEF,又AE面ABE,
∴平面ABE⊥平面BEF. 4分
(Ⅱ),又
,
又,所以
面
,
6分
法一:建系为
轴,
为
轴,
为
轴,
,
,
平面法向量
,平面
法向量
·9分
,可得
. 12分
法二:连交
于点
,四边形
为平行四边形,所以
为
的中点,连
,
则,
面
,
,
作于
点,所以
面
,
连,则
,
即为所求 9分
在中,
,
解得12 分
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