题目内容
【题目】哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品.并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为0.7，0.2和0.1.为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔,随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件
，“箱中有
件非优质产品”为事件
.
（1）求
，
，
；
（2）随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设
为非优质产品的盒数，求的分布列及期望；
（3）若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效.
【答案】（1）
，
，
（2）见解析，
（3）该方案无效.
【解析】
（1）
表示在“箱中有
件非优质产品”的前提下“买下所查看的一箱粉笔”的概率,分别求得结果数,再由古典概型的概率公式求解即可；
（2）由每箱含有0,1,2盒非优质产品粉笔的概率为0.7,0.2和0.1可得
可能的取值为0,1,2,由全概率公式求得概率,列得分布列,进而求得期望；
（3）由
,即为方案中箱中每盒粉笔都是优质产品的概率；随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为
,进而使得期望差与10比较即可判断.
解:（1）由已知,
,
（2）可能的取值为0,1,2,
所以
,
,
,
所以随机变量的分布列为:
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
所以
.
（3）由（1）知,
,
按照设计方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为,
因为
,所以该方案无效.
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