Question

10．设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2）=0，当x＞0时，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0恒成立，则$\frac{f（x）}{x}＞0$的解集为（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

分析 可设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，根据条件可以判断g（x）为偶函数，并可得到x＞0时，g′（x）＜0，从而得出g（x）在（0，+∞）上单调递减，并且g（2）=0，从而由g（x）＞g（2）便可得到|x|＜2，且x≠0，这样即可得出原不等式的解集．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，f（x）是R上的奇函数，∴g（x）为偶函数；
x＞0时，$g′（x）=\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}＜0$；
∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（2）=0；
∴由g（x）＞0得，g（x）＞g（2）；
∴g（|x|）＞g（2）；
∴|x|＜2，且x≠0；
∴-2＜x＜0，或0＜x＜2；
∴$\frac{f（x）}{x}＞0$的解集为（-2，0）∪（0，2）．
故选：B．

点评 考查奇函数、偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性的方法，根据函数单调性解不等式的方法，知道偶函数g（x）＞g（2）等价于g（|x|）＞g（2）．