Question

11．已知函数f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$，x∈（2，+∞）．
（1）当a＜0时，用函数单调性定义证明f（x）在（-2，+∞） 上为减函数；
（2）若f（x）在区间（-2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分离常数，可将原函数变成$f（x）=a+\frac{1-2a}{x+2}$，根据单调性的定义，设任意的x₁＞x₂＞-2，然后作差，通分便可证明f（x₁）＜f（x₂），从而得出f（x）在（-2，+∞）上为减函数；
（2）根据反比例函数的单调性，由f（x）在（-2，+∞）上为增函数，便可得到1-2a＜0，这样便得到a的取值范围．

解答 解：（1）证明：f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$=$\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}$=$a+\frac{1-2a}{x+2}$；
设x₁＞x₂＞-2，则：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}-\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}$=$\frac{（1-2a）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}$；
∵a＜0，x₁＞x₂＞-2；
∴1-2a＞0，x₂-x₁＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0；
∴$\frac{（1-2a）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}+2）（{x}_{2}+2）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-2，+∞）上为减函数；
（2）若f（x）在（-2，+∞）上为增函数，根据反比例函数的单调性得：
1-2a＜0；
∴$a＞\frac{1}{2}$；
∴a的取值范围为：（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 考查分离常数法的运用，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），是分式的一般要通分，以及反比例函数的单调性．