Question

19．已知定义在正整数集上的函数f（x）满足以下条件：①f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，其中m，n为正整数；②f（3）=6．则f（100）=（　　）

• A． 100
• B． 4950
• C． 5050
• D． 5151

Answer 1

分析 根据条件先求出f（1）=1，f（2）=3，f（3）=6，f（4）=10，利用作差法以及累加法进行求解即可．

解答 解：∵f（m+n）=f（m）+f（n）+mn，f（3）=6．
∴f（2）=f（1）+f（1）+1=2f（1）+1，
=f（3）=f（1）+f（2）+2=6，
解得f（1）=1，f（2）=3，
则f（4）=f（2）+f（2）+4=3+3+4=10，
f（5）=f（1）+f（4）+4=1+10+4=15，
则f（2）-f（1）=3-1=2，
f（3）-f（2）=6-3=3，
f（4）-f（3）=10-6=4，
f（5）-f（4）=15-10=5，
…
f（n）-f（n-1）=n，
等式两边同时相加得f（n）-f（1）=2+3+4+…+n，
即f（n）=f（1）+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=$\frac{（1+n）n}{2}$，
则f（100）=$\frac{100×101}{2}$=5050．
故选：C．

点评 本题主要考查了抽象函数求解函数值，及等差数列的求和公式的应用，解题的关键是利用已知函数关系进行递推．