Question

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆上一点，|PF₁|=|F₁F₂|且cos∠PF₂F₁=$\frac{2}{3}$，则椭圆离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{7}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 通过|PF₁|=|F₁F₂|可得△PF₁F₂是以PF₂为底的等腰三角形，且底边长为2a-2c、腰长为2c，过三角形的顶点作底边上的高，利用锐角三角函数的定义计算即得结论．

解答 解：∵|PF₁|=|F₁F₂|=2c，
∴△PF₁F₂是以PF₂为底的等腰三角形，|PF₂|=2a-2c，
过F₁作F₁A⊥PF₂交PF₂于A，
则有cos∠PF₂F₁=$\frac{|A{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{\frac{1}{2}|P{F}_{2}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{a-c}{2c}$=$\frac{2}{3}$，
∴3a=7c，即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{7}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．