Question

【题目】下列命题:

①动点M到二定点A、B的距离之比为常数则动点M的轨迹是圆

②椭圆的离心率为,则

③双曲线的焦点到渐近线的距离是

④已知抛物线上两点(是坐标原点),则

以上命题正确的是( )

A.②③④B.①④

C.①③D.①②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

对于①，通过建立坐标系，求出动点的轨迹方程判断出正确；利用椭圆中三个参数的关系判断出②对；对于③，据双曲线的方程求出焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式判断出正确；对于④，利用向量垂直的充要条件判断出其错

对于①，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系，设M（x，y），A（-a，0），B（a，0），则有 化简得（1-λ2）x2+（1-λ2）y2+（2a+2aλ2）x+a2-a2λ2=0，所以动点M的轨迹是圆，①正确；
对于②，，所以，所以a2=2c2，所以椭圆中有b2=a2-c2=c2，所以b=c，所以②正确；
对于③，双曲线的焦点坐标为（±c，0），渐近线的方程为：，根据点到直线的距离公式得到距离=．所以③正确；
对于④，因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，又因为y2=2px，所以y12＝2px1，y22＝2px2，所以y1y2=-4p2．④不正确

故选：D．