题目内容
15．已知数列{an}满足a1=2，?n∈N+，an＞0，且（n+1）an2+anan+1-nan+12=0，求通项公式．分析 通过对等式（n+1）an2+anan+1-nan+12=0因式分解可知（an+an+1）[（n+1）an-nan+1]=0，进而（n+1）an-nan+1=0，变形可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，利用累乘法计算即得结论．
解答 解：∵（n+1）an2+anan+1-nan+12=0，
∴（an+an+1）[（n+1）an-nan+1]=0，
又∵an＞0，即an+an+1＞0，
∴（n+1）an-nan+1=0，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-1}{n-2}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{2}{1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=n，
∴an=n•a1=2n，
∵当n=1时满足上式，
∴通项公式an=2n．
点评 本题考查数列的通项，利用因式分解、累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目