Question

6．数列{a_n}中，a_n＞0，前n项和为S_n，且4S_n=a_n²+2a_n+1，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过4S_n=a_n²+2a_n+1与4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1+1作差、化简可知a_n+1-a_n=2，进而可知数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵4S_n=a_n²+2a_n+1，
∴4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1+1，
两式相减得：4a_n+1=${{a}_{n+1}}^{2}$+2a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$-2a_n，
整理得：${{a}_{n+1}}^{2}$-${{a}_{n}}^{2}$=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=2a_n+1+2a_n，
又∵a_n＞0，即a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵4a₁=a₁²+2a₁+1，即a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．