Question

10．解关于x的不等式2ax²-2ax+a+3≤0．

Answer 1

分析 讨论a的取值，求出对应不等式的解集即可．

解答 解：a=0时，不等式化为3≤0，不成立；
a≠0时，△=4a²-4•2a（a+3）=-4a²-24a，
令△=0，解得a=0或a=-6；
当a=-6时，不等式化为（2x-1）²≥0，它的解集为R；
当a＜-6时，△＜0，原不等式的解集为R；
当-6＜a＜0时，△＞0，
不等式对应的方程2ax²-2ax+a+3=0有两个实数根：
x₁=$\frac{a-\sqrt{{-a}^{2}-6a}}{2a}$，x₂=$\frac{a+\sqrt{{-a}^{2}-6a}}{2a}$，且x₁＞x₂，
此时不等式的解集为{x|x＜$\frac{a+\sqrt{{-a}^{2}-6a}}{2a}$或x＞$\frac{a-\sqrt{{-a}^{2}-6a}}{2a}$}；
a＞0时，△＜0，此时原不等式的解集为∅；
综上，a≤-6时，不等式的解集为R，
-6＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{a+\sqrt{{-a}^{2}-6a}}{2a}$或x＞$\frac{a-\sqrt{{-a}^{2}-6a}}{2a}$}；
a≥0时，不等式的解集为∅．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是易错题目．