Question

4．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2-x）=f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x
（Ⅰ）求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2014，2016]上的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明f（2+x）=-f（x），即可求函数f（x）的周期；
（Ⅱ）根据f（2-x）=f（x），可以推出x在[1，2]上f（x）=2-x，再分段，即可求函数f（x）在区间[2014，2016]上的解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵f（2-x）=f（x），
∴f（2+x）=f（-x），
∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（2+x）=-f（x），
∴f（4+x）=-f（2+x）=f（x），
∴函数f（x）的周期是4；
（Ⅱ）设x∈[1，2]，则2-x∈[0，1]时，f（2-x）=2-x
∵f（2-x）=f（x），∴f（x）=2-x
设x∈[2014，2015]，则x-2014∈[0，1]，f（x-2014）=x-2014，
∵函数f（x）的周期是4，
∴f（x）=f（x-2014）=x-2014，
设x∈[2015，2016]，则x-2014∈[1，2]，f（x-2014）=2-x+2014=2016-x，
∵函数f（x）的周期是4，
∴f（x）=f（x-2014）=2016-x
∴函数f（x）在区间[2014，2016]上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-2014，x∈[2014，2015]}\\{2016-x，x∈[2015，2016]}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的周期性，考查函数的解析式，考查学生分析解决问题的能力，正确运用函数的周期性是关键．