Question

【题目】设直线与圆交于M、N两点，且M、N关于直线对称．

（1）求m，k的值；

（2）若直线与圆C交P，Q两点，是否存在实数a使得OP⊥OQ，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在．

【解析】试题分析：（1）由M，N关于直线x+y=0对称，可知所求的直线的斜率k=1，根据圆的性质可得直线y+x=0过圆的圆心C（1，m）代入可求m
（2）把x=ay+1代入（x-1）2+（y+1）2=9得（1+a2）y2+2y-8=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，OP⊥OQ，则有x1x2+y1y2=0，代入整理可求.

试题解析：

（1）因为圆上的两点关于直线对称，所以，直线过圆心，圆心，即有，同时，对称点的连线被对称轴垂直平分，所以又有 ，从而

（2）由（1)知：圆C（x-1）2+（y+1）2=9，把代入

得 ，设， 则，

若，则有x1x2+y1y2=0,

即， 方程无实数根，所以满足条件的实数不存在．