Question

7．已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin²x
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）设△△ABC的内角A、B、C所对的边记作a、b、c，且满足f（A）=0，c=1，b=$\sqrt{2}$，求△△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由周期公式，即可得到；
（2）由A的范围，结合条件f（A）=0，求得A，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）f（x）=2sinxcosx-2sin²x
=sin2x-（1-cos2x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1，
故函数f（x）的最小正周期为T=π；
（2）由f（A）=0，即有$\sqrt{2}$sin（2A+$\frac{π}{4}$）-1=0，
即sin（2A+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
而A∈（0，π），即有2A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$），
则2A+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，
故A=$\frac{π}{4}$，
由c=1，b=$\sqrt{2}$，
故△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{2}$×sin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简和求值，二倍角公式和两角和的正弦公式的运用，考查正弦函数的周期公式和特殊角的三角函数值，同时考查三角形的面积公式的运用，属于中档题．