Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n+1=2S_n+1与a_n=2S_n-1+1（n≥2）作差、整理可知数列{a_n}是首项为1、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；
（2）通过a_n=3^n-1可知$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得：a_n+1=3a_n（n≥2），
由a_n+1=2S_n+1得：a₂=2a₁+1=3，
∴a₂=3a₁满足上式，
∴数列{a_n}是首项为1、公比为3的等比数列，
∴a_n=3^n-1；
（2）∵a_n=3^n-1，
∴$\frac{2n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{{3}^{0}}$+$\frac{5}{3}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n-2}}$+$\frac{2n+1}{{3}^{n-1}}$，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{3}{3}$+$\frac{5}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{3}^{n-1}}$+$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$，
两式相减得：$\frac{2}{3}$T_n=3+2（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$）-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$=4-$\frac{2n+4}{{3}^{n}}$，
∴T_n=6-$\frac{n+2}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．