Question

1．根据下列条件，求圆锥曲线的标准方程
（1）焦点在x轴上，焦距为6，离心率为$\frac{1}{2}$的椭圆
（2）一个焦点为（0，5），一条渐近线方程为y=$\frac{4}{3}$x的双曲线．

Answer 1

分析 （1）由题意设出椭圆方程，结合已知求出a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）由题意设出双曲线方程，求得到c，再由渐近线方程可得$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，联立隐含条件求得a，b的值，则双曲线方程可求．

解答 解：（1）由题意可知所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
且2c=6，c=3，e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=6，则b²=a²-c²=27．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{27}=1$；
（2）由题意可知所求双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，
且c=5，又$\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$，c²=a²+b²，解得：a=4，b=3．
∴双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查椭圆、双曲线的简单性质，考查了椭圆、双曲线标准方程的求法，是基础题．